Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa

1. Giới thiệu

Một lý do chính cho việc hiệu suất của STARKs thấp là hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi mở rộng dữ liệu bằng mã Reed-Solomon, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.

Độ rộng mã của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ, hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.

So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện nghiên cứu mới trong vài năm gần đây về miền hữu hạn, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên đến những năm 1980. Hiện nay, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:

• Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;

• Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;

• QR code, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;

• Giao thức FRI ban đầu và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl đã vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho việc đệ quy.

Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền ngày càng trở nên quan trọng để đảm bảo tính bảo mật. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính bảo mật và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan đến tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động dưới miền cơ bản, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính bảo mật cần thiết.

Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền được sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.

Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này, và đạt được điều đó bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: trước tiên, sử dụng đa thức nhiều biến (cụ thể là đa thức đa tuyến tính) thay cho đa thức một biến, bằng cách thể hiện toàn bộ quỹ đạo tính toán thông qua các giá trị của nó trên "siêu lập phương" (hypercubes); thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều của siêu lập phương đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông (square), và dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này, trong khi đảm bảo tính an toàn, đã cải thiện đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.

2. Phân tích nguyên lý

Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:

• Chứng minh Oracle tương tác đa thức theo lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi các mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức, để người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của các đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi giao thức đều có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.

• Phương thức cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Phương thức cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh liệu phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các phương thức cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và các trường hợp sử dụng khác nhau.

Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với trường hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:

• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm là khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.

• Plonky2: Sử dụng PLONK PIOP kết hợp với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được khả năng đệ quy hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, nhằm đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các tổ hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh đệ quy hoặc chứng minh tổng hợp hay không.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) là nền tảng cho tính toán của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của mình (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và sự hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã áp dụng chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an ninh mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm bớt chi phí thường liên quan đến miền lớn.

2.1 Trường hữu hạn: Toán tử hóa dựa trên tháp của các trường nhị phân

Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và đại số hóa hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán đại số cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình đại số hóa đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng khai thác đầy đủ các đặc tính phân cấp thông qua cấu trúc tháp, làm cho trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.

Trong đó "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn tiêu chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân có sự thuận lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt (như được sử dụng trong AES), giảm Montgomery (như được sử dụng trong POLYVAL) và giảm đệ quy (như Tower). Bài báo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải mang vào trong các phép toán cộng và nhân, và phép nhân bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.

Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, 16 phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Sự linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một sự chuyển đổi kiểu (typecast) của chuỗi bit, là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu suất tính toán. Ngoài ra, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, phép bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân tích thành miền con m bit).

2.2 PIOP：Phiên bản cải biên của sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------Áp dụng cho miền nhị phân

Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:

1. GateCheck: Xác minh chứng từ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.

2. PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), nhằm đảm bảo sự nhất quán trong việc sắp xếp các biến đa thức.

3. LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.

4. MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H = {(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.

5. ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hữu tỷ trên siêu khối Boolean có bằng một giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s hay không, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.

6. ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên siêu lập phương Boolean có phải là không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.

7. SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã tuyên bố hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.

8. BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến để cải thiện hiệu quả của giao thức.

Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:

• Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 tại mọi điểm trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.

• Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không thể xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề không bằng 0 của U trên siêu lập phương; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến giá trị tích bất kỳ.

• Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có tính năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius xử lý các trường hợp hoán vị đa thức phức tạp hơn.

Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý việc xác minh đa thức nhiều biến phức tạp, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.

2.3 PIOP：tham số dịch nhiều tuyến tính mới------thích hợp cho hypercube boolean

Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được suy ra từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng:

• Đóng gói：