Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa

1. Giới thiệu

Khác với SNARKs dựa trên đường cong ellip, STARKs có thể được coi là SNARKs dựa trên hàm băm. Một trong những lý do chính khiến STARKs hiện tại kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị ban đầu rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.

Kích thước mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, kích thước mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, kích thước mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng kích thước mã hóa 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với điều đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.

So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện nghiên cứu mới trong những năm gần đây về miền hữu hạn, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên về thập kỷ 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:

• Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;

• Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;

• Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;

• Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.

Khi sử dụng miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền ngày càng trở nên quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào thao tác mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế của nó. Hầu hết các đa thức liên quan đến tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.

Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết cây Merkle trong STARKs, cần phải thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng cũng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã hóa.

Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và đạt được điều đó bằng cách biểu thị cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến (cụ thể là đa thức đa tuyến) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" (hypercubes) để biểu thị toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều của siêu khối đều là 2, do đó không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như một hình vuông, và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.

2. Phân tích nguyên lý

Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:

• Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, để người xác minh có thể xác thực tính chính xác của tính toán chỉ bằng cách truy vấn một số lượng nhỏ các kết quả đánh giá đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi giao thức có cách xử lý khác nhau đối với các biểu thức đa thức, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.

• Giải pháp cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Giải pháp cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra từ PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn giấu thông tin khác của đa thức. Một số giải pháp cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và ứng dụng khác nhau.

Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, kết hợp với các trường hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:

• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm là khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.

• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh của SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, cũng như liệu có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và độ an toàn cao. Đầu tiên, cấu trúc số học dựa trên các tháp miền nhị phân (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho các phép toán của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh oracle tương tác của nó (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra tích và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo việc kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và sự hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã áp dụng phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.

2.1 miền hữu hạn: toán tử hóa dựa trên towers of binary fields

Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán có thể xác minh nhanh chóng, chủ yếu nhờ vào hai yếu tố: tính toán hiệu quả và tính toán hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp thông qua cấu trúc tháp, làm cho trường nhị phân đặc biệt phù hợp cho các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.

Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong trường nhị phân. Ví dụ, trong trường nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử trường nhị phân k bit. Điều này khác với trường số nguyên tố, nơi không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù trường số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử trường, trong khi trường nhị phân lại có sự thuận tiện của ánh xạ một-một này. Trong trường số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm thiểu phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các trường hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong trường nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt (như sử dụng trong AES), giảm Montgomery (như sử dụng trong POLYVAL) và giảm đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" chỉ ra rằng trường nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương của trường nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản hóa (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu (typecast) của chuỗi bit, là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu suất tính toán. Hơn nữa, tài liệu "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, bình phương và đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân tách thành miền con m bit).

2.2 PIOP: Phiên bản sửa đổi của Sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra Hoán vị ------ áp dụng cho miền nhị phân

Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:

1. GateCheck: Xác thực chứng minh bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động đúng.

2. PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.

3. LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng đã chỉ định.

4. MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.

5. ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu khối Boolean có bằng với giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.

6. ZeroCheck: Xác minh một đa thức nhiều biến tại điểm bất kỳ trên siêu lập phương Boolean có phải là zero ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.

7. SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng với giá trị đã tuyên bố ∑x∈Hµ f(x) = s hay không. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt bằng cách đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt nhiều trường hợp kiểm tra tổng.

8. BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.

Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải thiện ở 3 điểm sau:

• Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 ở mọi điểm trên khối siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc biệt hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.

• Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U trên siêu khối không bằng không; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số là không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.

• Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.

Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý các xác minh đa thức đa biến phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.

2.3 PIOP：tham số dịch nhiều dòng mới ------ áp dụng cho hypercube boolean

Trong giao thức Binius, xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng:

• Packing：Phương pháp này thông qua việc sắp xếp các vị trí liền kề trong từ điển.