Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1. Introducción

Una de las principales razones de la ineficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en bucles for, los valores booleanos, los contadores, etc. Sin embargo, para asegurar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al expandir los datos con codificación de Reed-Solomon, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del campo se ha convertido en una estrategia clave.

El ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el dominio binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.

En comparación con los campos finitos descubiertos en los últimos años, como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se aplican ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de cifrado avanzado ( AES ), basado en el dominio F28.

• Galois código de autenticación de mensaje ( GMAC ), basado en el dominio F2128;

• Código QR, que utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;

• Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el dominio F28, es un algoritmo de hash muy adecuado para la recursión.

Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para asegurar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que operan solo en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún deben profundizar en un dominio de extensión más grande para garantizar la seguridad requerida.

Al construir un sistema de pruebas basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multivariables (específicamente polinomios multilineales) en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos"; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en los STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado, realizando la extensión de Reed-Solomon basada en ese cuadrado. Este método, mientras garantiza la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.

2. Análisis de principios

La mayoría de los sistemas SNARKs actuales generalmente se componen de las siguientes dos partes:

• Prueba de Oráculo Interactivo Polinómico de Teoría de la Información (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, como núcleo del sistema de pruebas, transforma la relación computacional de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten que el probador envíe polinomios de manera gradual a través de la interacción con el validador, de modo que el validador pueda verificar si el cálculo es correcto consultando los resultados de evaluación de un número reducido de polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PIOP PLONK, PIOP Spartan y PIOP HyperPlonk, entre otros, que manejan de manera diferente las expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si se cumple una igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y verificar más tarde el resultado de la evaluación de ese polinomio, mientras oculta otra información sobre el polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, niveles de seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, se pueden elegir diferentes PIOP y PCS, y combinarlos con un campo finito o una curva elíptica adecuada, lo que permite construir sistemas de prueba con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. En el diseño de Halo2, se presta atención a la escalabilidad y a la eliminación del setup confiable en el protocolo ZCash.

• Plonky2: combina PLONK PIOP con FRI PCS y se basa en el dominio Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr una recursión eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y la PCS seleccionadas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de la verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin una configuración confiable y si puede soportar funciones de expansión como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + campo binario. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. En primer lugar, la aritmética basada en torres de campos binarios constituye la base de sus cálculos, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del campo binario. En segundo lugar, Binius ha adaptado la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo (PIOP), asegurando una verificación consistente y segura de la eficiencia entre las variables y sus permutaciones. En tercer lugar, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilinéal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilinales en campos pequeños. En cuarto lugar, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, que proporciona flexibilidad y una fuerte seguridad al mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso polinómico de campo pequeño (Small-Field PCS), lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente dentro del campo binario y reducir los costos asociados generalmente con campos grandes.

2.1 Campos finitos: aritmética basada en torres de campos binarios

Los campos binarios en torre son clave para lograr cálculos verificables rápidos, debido principalmente a dos aspectos: cálculos eficientes y aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, permiten operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una elección ideal para aplicaciones criptográficas que requieren un alto rendimiento. Además, la estructura del campo binario admite un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre campos binarios pueden expresarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar plenamente sus características jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que los campos binarios sean particularmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.

Donde "canónico" se refiere a la representación única y directa de un elemento en el campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits se puede mapear directamente a un elemento del campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede caber en 32 bits, no cada cadena de 32 bits puede corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de un mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial (como se utiliza en AES), la reducción de Montgomery (como se utiliza en POLYVAL) y la reducción recursiva (como Tower). El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que el campo binario no necesita introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada de (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias maneras en el contexto de un dominio binario. Puede considerarse un elemento único en un dominio binario de 128 bits, o desglosarse en dos elementos de dominio torre de 64 bits, cuatro elementos de dominio torre de 32 bits, dieciséis elementos de dominio torre de 8 bits, o 128 elementos de dominio F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo de cálculo, solo una conversión de tipo de la cadena de bits, lo que es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de dominio pequeño se pueden empaquetar en elementos de dominio más grandes sin necesidad de costos de cálculo adicionales. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el documento "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de las operaciones de multiplicación, cuadrado y inversión en un dominio binario torre de n bits (descomponible en un subdominio de m bits).

2.2 PIOP: versión adaptada de HyperPlonk Product y PermutationCheck------aplicable a campos binarios

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación fundamentales para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones fundamentales incluyen:

1. GateCheck: verifica si el testigo secreto ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verifica si los resultados de evaluación de los dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f(x) = f(π(x)), para asegurar la consistencia en el orden de las variables polinómicas.

3. LookupCheck: Verifica si la evaluación de un polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T(Bµ), asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la consistencia entre varios conjuntos.

5. ProductCheck: Verifica si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo de Booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.

6. ZeroCheck: Verifica si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: Detecta si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Al transformar el problema de evaluación de un polinomio multivariable en la evaluación de un polinomio univariable, se reduce la complejidad computacional para el verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de sumas.

8. BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha mejorado en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: En HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea distinto de cero en todo el hipercubo, y que el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar este valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.

• Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no logró manejar adecuadamente el caso de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.

• Comprobación de Permutación entre columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de permutación polinómica más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado el mecanismo existente PIOPSumCheck, aumentando la flexibilidad y eficiencia del protocolo, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, ofreciendo un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.

2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal ------ aplicable al hipercubo booleano

En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales son una de las tecnologías clave, capaces de generar y operar de manera efectiva polinomios derivados de manejadores de entrada u otros polinomios virtuales. A continuación se presentan dos métodos clave:

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