ここで「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列を直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供できません。32ビットの素数フィールドは32ビット内に含まれることができますが、すべての32ビットの文字列が唯一のフィールド要素に対応できるわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの便利さを備えています。素数フィールドFpにおいて、一般的な還元手法にはBarrett還元、Montgomery還元、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊な還元手法が含まれます。バイナリーフィールドF2kにおいて、一般的に使われる還元手法には特殊還元（AESで使用されるもの）、Montgomery還元（POLYVALで使用されるもの）、および再帰的還元（Towerで使用されるもの）が含まれます。論文『Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations』では、バイナリーフィールドは加算および乗算の演算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、それは(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡略化されたルールに従うからです。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列はバイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。128ビットのバイナリフィールド内のユニークな要素と見なすことができるほか、2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、ビット文字列の型変換（typecast）に過ぎないため、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化することができます。Biniusプロトコルはこの特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』では、nビットタワー型バイナリフィールド（mビットサブフィールドに分解可能）での乗算、平方、および逆運算の計算の複雑さについて探討しています。
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Binius STARKs: バイナリーフィールド駆動の効率的ZK証明システム
Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析
1. はじめに
STARKsの効率が低下する主な理由の1つは、実際のプログラム内のほとんどの数値が小さいことです。例えば、forループ内のインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkleツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際、多くの追加の冗長値が全体の領域を占有します。たとえ元の値自体が非常に小さいとしてもです。この問題を解決するためには、領域のサイズを小さくすることが重要な戦略となります。
第1世代のSTARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代のSTARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代のSTARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースがあります。それに比べて、バイナリフィールドはビット操作を直接行うことを許可し、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。つまり、第4世代のSTARKsです。
Goldilocks、BabyBear、Mersenne31などの近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代に遡ります。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には次のようなものがあります：
高度暗号標準(AES)、F28フィールドに基づく；
ガロワのメッセージ認証コード(GMAC)、F2128域に基づく；
QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用；
原初のFRIとzk-STARKプロトコル、およびSHA-3コンペティションに入賞したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。
小さな体を使用する場合、拡張体操作は安全性を確保するためにますます重要になります。しかし、Biniusが使用している二進数体は、その安全性と実用性を保証するために完全に拡張体に依存しています。ほとんどのProver計算に関与する多項式は拡張体に入る必要はなく、基本体で操作するだけで済み、小さな体で高い効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深く入る必要があります。
バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際、2つの実際的な問題があります：STARKsでトレース表現を計算する際、使用するフィールドのサイズは多項式の次数よりも大きくする必要があります；STARKsでMerkleツリーをコミットする際、Reed-Solomonエンコーディングを行う必要があり、使用するフィールドのサイズはエンコーディング拡張後のサイズよりも大きくする必要があります。
Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的な解決策を提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することを実現しました：まず、単変数の多項式の代わりに多変数（具体的には多線形）多項式を使用し、その値を「超立方体」（hypercubes）上で表現して全体の計算軌跡を示します；次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準のReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形（square）と見なして、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しながら、コーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。
2. 原理分析
現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常、以下の2つの部分を含みます：
情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明（Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP）：PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信できるようにし、検証者は少量の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、これらはそれぞれ多項式表現の処理方法が異なるため、SNARKシステム全体の性能と効率に影響を及ぼします。
多項式コミットメントスキーム（Polynomial Commitment Scheme, PCS）：多項式コミットメントスキームは、PIOPが生成した多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的なツールであり、証明者は特定の多項式をコミットし、後でその多項式の評価結果を検証することができ、同時に多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI（Fast Reed-Solomon IOPP）、およびBrakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。
具体的なニーズに基づいて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば：
• Halo2：PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を排除することに注力しています。
• Plonky2：PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されたPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致している必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしに透明性を実現できるかどうか、再帰証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。
Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず第一に、バイナリフィールドのタワーに基づく算術がその計算の基礎を形成し、バイナリフィールドでの単純化された演算を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracle Proof Protocol(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保しました。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルはスモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、大規模なドメインに通常関連するオーバーヘッドを削減できます。
2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術
タワー型二進法体は、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に二つの側面に起因しています：効率的な計算と効率的な算術化です。二進法体は本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、性能要求に敏感な暗号学的アプリケーションに理想的な選択肢となります。さらに、二進法体の構造は簡略化された算術化プロセスをサポートしており、すなわち二進法体上で実行される演算はコンパクトで検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特性に加え、タワー構造によってその階層的な特性を十分に活用できることから、二進法体はBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。
ここで「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列を直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供できません。32ビットの素数フィールドは32ビット内に含まれることができますが、すべての32ビットの文字列が唯一のフィールド要素に対応できるわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの便利さを備えています。素数フィールドFpにおいて、一般的な還元手法にはBarrett還元、Montgomery還元、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊な還元手法が含まれます。バイナリーフィールドF2kにおいて、一般的に使われる還元手法には特殊還元（AESで使用されるもの）、Montgomery還元（POLYVALで使用されるもの）、および再帰的還元（Towerで使用されるもの）が含まれます。論文『Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations』では、バイナリーフィールドは加算および乗算の演算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、それは(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡略化されたルールに従うからです。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列はバイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。128ビットのバイナリフィールド内のユニークな要素と見なすことができるほか、2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、ビット文字列の型変換（typecast）に過ぎないため、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化することができます。Biniusプロトコルはこの特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』では、nビットタワー型バイナリフィールド（mビットサブフィールドに分解可能）での乗算、平方、および逆運算の計算の複雑さについて探討しています。
! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考
2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------
BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式および多変数集合の正確性を検証するために一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには次のものが含まれます：
GateCheck：秘密証明ωと公開入力xが回路演算関係C(x,ω)=0を満たすかどうかを検証し、回路が正しく動作することを確認します。
PermutationCheck：2つの多変数多項式fとgがブール超立方体上での評価結果が置換関係であるかどうかを検証します。f(x) = f(π(x))、これは多項式の変数間の排列の一貫性を確保するためです。
LookupCheck：多項式の評価が指定されたルックアップテーブルにあるかどうかを検証します。すなわち、f(Bµ) ⊆ T(Bµ)、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。
MultisetCheck：2つの多変数集合が等しいかどうかを確認します。すなわち、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。
ProductCheck：有理多項式がブール超立方体上での評価がある声明された値∏x∈Hµ f(x) = sに等しいかどうかを検証し、多項式の積の正確性を確保する。
ZeroCheck：多変数多項式がブール超立方体上の任意の点でゼロであるかどうかを検証します∏x∈Hµ f(x) = 0,∀x ∈ Bµ、多項式のゼロ点の分布を確保するために。
SumCheck：宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sが多変数多項式の求和であるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算複雑性を低減します。さらに、SumCheckはバッチ処理を許可し、ランダム数を導入することで、複数の和の検証インスタンスに対するバッチ処理を実現します。
BatchCheck：SumCheckに基づき、複数の多変数多項式評価の正しさを検証し、プロトコルの効率を向上させます。
BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、Biniusは以下の3つの点で改善されています：
ProductCheckの最適化：HyperPlonkにおいて、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであること、かつ積が特定の値に等しいことを要求します；Biniusはこの値を1に特化させることで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減しました。
ゼロ除算問題の処理：HyperPlonkはゼロ除算のケースを十分に処理できず、超立方体上のUが非ゼロであるかどうかを断言できませんでした；Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロの場合でもBiniusのProductCheckは処理を続け、任意の積値への拡張を許可します。
列間のPermutationCheck：HyperPlonkにはこの機能はありません；Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の排列状況を処理できるようになります。
したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改善することで、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの制限を解決するだけでなく、将来のバイナリーフィールドに基づく証明システムの基礎を築くものです。
! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考
2.3 PIOP：新しいマルチリニアシフト引数------ブールハイパーキューブに適用
Biniusプロトコルにおいて、仮想多項式の構築と処理は重要な技術の一つであり、入力ハンドルや他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成し操作することができます。以下は2つの重要な方法です：