素晴らしい発見がありました。2019年にAMMの公式を構築する際、Curve V1は控除プロセスで中間公式を持っており、この公式はちょうど1年後のUniswap V3の基本公式と全く同じ構造でした（前者は後者の特殊形式です）。まったく異なる思考の道が現れ、数学的な交差点が現れました。この記事では、Curve V1とUniswap V3の構造的思考プロセスを出発点から整理します。2つは構築プロセス中に数学的な意味で出会い、どのようにして異なる結末に向かう道を分かれたかを示します。

1. Curve V1式によって構築された思考経路

Uniswapのxy=kローンチは2018年末に革命的でした。ただし、ステーブルコイン取引ペアのシナリオでは、欠陥が著しいです。マイケルはこのエントリーポイントを捉え、'19年末に新しいAMM Curve V1をローンチしました。

新しいAMM式の構築プロセスの基盤の1つは、まだxy = kです。将来、Curve V1ホワイトペーパーのパラメータコードに従って、次の式として一様に表記される予定です。

安定通貨取引ペアの価格は、ほとんどの場合、1：1の周りでわずかに変動するだけです。単一の1：1価格ポイントでの流動性の提供のみを行う式は、x+y=Dであり、これは構築プロセスの別の基盤です。

マイケルは、2つの基本方程式を組み合わせたい、またはxy = (D/2)²に基づいてx+y = D特性を導入したいと考えています。

その結果、2つの基本式が足し合わされ、混合式が得られました。

その中で、x+y=Dの部分にAパラメータが追加され、等号の両側にDが追加されます。Dを掛ける理由は、Aパラメータの次元をなくすためです（プールに2つのトークンがあるか、3つのトークンがあるか、それ以上があるかにかかわらず、同じA値は同じ効果を持ちます）。ここではそれについては議論されていないし、この議論の焦点でもありません。

Aパラメータに焦点を当てます。まず、Curve V1のホワイトペーパーでは、ブレンディング式にギリシャ文字のΧ（xによく似ている）を使用しており、Aではありません。書きやすさと読みやすさのためにAに切り替えましたが、議論には影響しませんでした。

パラメータAの効果は、おそらく黒、灰色、白のカラーバーを使って類推することで理解できるでしょう。 90%の灰色は黒にとても似ていますが、10%の灰色は白に近いです。パラメータAは、式の最終的な産物がx+y=dのようなものか、xy=(D/2)²のようなものかを決定します。

限界Aの数値から、このブレンドプロセスをよりよく理解することができます。A=0の場合、混合式はxy=(D/2)²となります。A=∞の場合、混合式はx+y=dとなります。したがって、Aはそれにおける中間状態です。Aが大きいほど、x+y=Dに近いものになります。この組み合わせはグラフィックを通じて直感的に感じることができ、興味があれば、desmos²でAを試してみることができます。

Curve V1に関しては、ここでやめておきましょう。一般的にはこの数式を心に留めておいてください。次にUniswap V3の状況を見てみましょう。

2. Uniswap V3の式によって構築された思考経路

Uni V1/V2のxy=kが川を支配した後、0から無限大までの完全な価格範囲にわたる流動性の均一な分布によって引き起こされた欠点がますます明らかになり、Curve V1の立ち上げは安定したコイン取引の重要な市場を直接かつ正確に切り取りました。

V3を設計する際、Uniswapチームはまず、有限な連続価格範囲内での流動性のみを提供する式を構築したいと考えました。彼らの構築の出発点は依然としてxy=kでした。

もし効果を達成したいと思ったら、[Pa、Pb]価格帯（例えば[0.99、1.01]または[1500、1700]）内で取引を支援するこの式があります。この式は、Uni V1/V2のxy = kと同じように取引をサポートしますが、価格が[Pa、Pb]を超えると、もはや流動性を提供しません。

この効果の対応する式は次のとおりです:

グラフを使用して表示すると、つまり、xy=kを左下に移動することが非常に明確になります。移動する正確な量は、PaとPbによって決定されます。

この式によって達成される効果は、すべての流動性が[Pa、Pb]に集中し、LPは一定量のxトークンとYトークンを預け入れ、[Pa、Pb]価格範囲内である程度の流動性を提供します。この部分的な流動性効果だけでも、Uni V2のLPを達成するには、LPはより多くのxトークンとYトークンを預け入れる必要があります。その程度はPaとPbに依存し、かなり多くが必要になる可能性があります。

この翻訳式はUni V3のさらなる構築の基本的な式です。今のところUni V3について話しましょう。

3. 2つの思考の道が交差する、すばらしい肩越し

セクション1の曲線V1の式をいくつか変形してください：

セクション2のUni V3変換式を見ると、2つが非常に似ていることがわかります。

Uni V3の変換式においてPaとPbがさらに定義される場合、Pb = 1/Paとなります。つまり、定義された価格帯は[0.5、2]または[0.01、100]のような範囲であり、1：1の価格ポイントの両側で倍数の意味で対称性を満たすものです。

この制限を設けた後、これら2つの方程式はまったく同じと言える。

2つの式には異なるパラメータ表現があり、2つのパラメータセットの間の関係を推論するのは簡単です。以下に示すように、Curve V1混合式のパラメータAとDに基づいてLとPaを計算しましょう。

これらのパラメータの重要性は、2つのプロトコルのそれぞれの構築の考え方に関連しています。 2つのパラメータセット間の関係を組み合わせ、その後、2つの構築プロセスを簡単に見直します。

簡単に言えば、ステーブルコイン取引ペアのプールがあるとします。初期価格は1:1です。Curve V1ブレンド式のDは、初期LPに投資された2つのステーブルコインそれぞれのD/2の量を表します。Aは、この混合式がx+y = dに近づく度合いを表します。

ユニ側に来て、別のユニV2ステーブルコイン取引ペアプールを作成しましょう。以下の式を満たします。

言い換えれば、初期価格が1:1の場合、初期LPは、2つのステーブルコインそれぞれについて、D（2A+1）/2を投資する必要があります。

この時点で、Uni V3プールがあります。望ましい効果は、次の価格範囲内で流動性を提供することだけです。

さらに、この範囲内の流動性効果は、まるで実質的に出てきたUni V2プールのようです。この効果を満たすUni V3プールに対応する式は、上記のCurve V1ブレンド式とまったく同じです。

簡単に要約すると、Curve V1によって達成される効果は、まさに、はるかに大きなトークン準備金（2A倍）を持つUni V2プールを最初に作成し、次にこのUni V2プールと同じ流動性効果を達成するのとまったく同じ効果です[(2A/ (2A+1))) ²、(2A+1) /2A) ²]価格帯で。

4. 2つの思考経路の異なる終わり方

Curve V1ブレンド式はUni V3翻訳式の特別な形式です。実際、Curve V1混合式に1つのパラメーターが導入され、x+y部分がx+pyに調整されれば、2つは完全に等価です。ここではあまり説明はありません。

Curve V1は融合式に基づいており、Uni V3は翻訳式に基づいて元の思考経路を辿り、別々の道を歩んでいった。

4.1 Curve V1: さらなる動的勾配ブレンディング

Curve V1にはブレンド式の欠陥があります。それは限られた価格範囲内での流動性のみを提供します。マイケルはすべての価格範囲で流動性を持つ式が必要でした。（なぜそのような需要があるのか？（おそらく価格全体の範囲が流動性を持つことは、外部世界にオラクルを提供するという意味で、より完全で健全な状態になるのが自然であるためです。）

彼の建設に関する考え方を次のように理解することができます: この統合の程度を動的にする。 前の混合式のAは、均一な混合度を表す定数です。 さらに、xがD/2からより離れると（つまり、xが小さくなるか大きくなると）、または価格が1：1より大きく逸脱すると、混合の程度がよりxy =（D/2）²に偏るようにすると、または価格が限界状態から逸脱すると、単にxy =（D/2）²になりますので、全価格帯が流動的になります。

マイケルはAをAxy/ (D/2) ²に変えました

上記のダイナミックグラデーション効果を実現することができます。 もちろん、構築方法はこれに限定されません。 私は、マイケルが建設プロセスのこの段階で異なるダイナミックグラデーション実装方法の違いについて非常に深く比較研究を行っていないと感じています。 おそらく、完全な価格流動性を実現するのが便利であれば、それだけです。

最後に、Curve V1の最終形態学的式は以下の通りです:

4.2 Uni V3: 統一された単一の式を捨て、セグメント化された機能を自由に組み合わせる

Uni V3の翻訳式の核心の意味は、価格帯[Pa、Pb]です。この翻訳式に基づいて、Uni V3は自然に一方向に進みました；異なる価格帯の流動性は異なる場合があります(異なる価格帯の流動性が同じ場合は、Uni V2に戻ります)。

この一般的な方向にはまだ異なる設計の分岐があります。 道路の分岐点を決定するために合意される可能性があります、異なる価格帯の流動性割り当てルール。 LPはまだ同質です；実際、Curve V1はこのタイプと考えることができます（価格帯の限界が小さい）。

道の分岐点です。 すべての意思決定権がLPに移されます。 LPは独立して一緒に決定し、異なる価格帯で最終的な流動性がどのように分配されるかを決定します。

Uni V3は後者を選択しました。この選択は非常に重要です。これにより、市場ゲーム全体の要素が大幅に豊かになります。価格判断、ボラティリティ判断、運要素など、すべてが関与しており、流動性市場を完全に競争力のある市場に一歩近づけています。

Uni V3のさらなる構築を数学的な観点から見ると、一見すると非伝統的なセグメント化された関数のように見えます。異なる価格帯には異なるL値が対応し、それに応じて以下のような異なる数式があります。

実際には、上記は標準的な分割関数に変換できます。つまり、部分領域はxによって定義されます。副関数はyとxの式です。この記事では拡張しません。

5. エピローグ

Curve V1は2019年末にローンチされました。当時、その主な目的はステーブルコイン取引ペアをより良くサポートし、この市場のギャップを埋めることでした。おそらくこれがマイケルの考え方を決定した要因でしょう。焦点は、1:1の価格ポイントで対称的な構造にあり、流動性は比較的1:1の価格ポイント周辺に集中しています。マイケルがx+y = dとxy = (D/2)²を交差させてブレンド式を推論した時、このブレンド式はすでに上記の対称性とクラスタリング特性を満たしているため、最も中心的で先駆的な作業が完了したと私には思えます。さらに、ブレンド式を全価格帯にわたる流動性をサポートする式に変換することは、マイケルにとっておそらく単なる小さな副計算であり、作業を仕上げることだけだと思われます。

Uni V3は後にローンチされ、2021年3月にホワイトペーパーがリリースされました。UniチームはCurve V1が十分に稼働しているのを見てきました。非常に優れたグループの人々、Curveに対抗する方法は自然にアップグレードが必要です。Uniチームは直接大前提を破りました。LPはもはや「大きな鍋の食事」ではなく、各プールごとに流動性を提供するための単一の固定されたフォーミュラに一律に従うことができません。

Uni V3は、Uni V1/V2 xy=kを基に、特定の価格範囲内での流動性のみを提供する基本的な式（すなわち、上記の変換式）を構築します。Uni V3はLPの「大きな壷の食事」の前提を打破したかったので、LPには流動性を提供する価格範囲（または複数の範囲）を自由に決定する自由が与えられました。個々のLPは自由に決定し、各プールレベルで合計されると、これも式（分割関数）を形成します。ただし、この式の形状は動的に変化し、以前のAMMのような固定された形状パターンではありません（一部のAMMはCurve V1のようにAパラメーターを調整することで形状を調整できます）。

このデザインは、Uni V2のステーブルコイン取引ペアシナリオにおける低資本効率の問題を解決するだけでなく（Curve V1に対抗する）、すべての取引ペアシナリオで競争を促進し、市場の全体的な金融効率レベルを向上させました。

歴史的背景や基本的な出発点の違いを整理した後、Curve V1のブレンド式とUni V3の変換式との類似点を見てみましょう。これは単なる言及に値する単純な数学的偶然のように思われました。

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