The Graph Networkは、インデクサーの行動を奨励するためにコブ・ダグラス関数を使用しています。コブ・ダグラスは、歴史的に実証的および理論的経済学の両方で広く応用されてきました。ほとんどのインデクサーは経済学ではなくコンピュータサイエンスのバックグラウンドを持っているため、通常はこれがどのように基本的なレベルで機能するかについての文脈知識を得る必要があります。

これは、Cobb-Douglas関数に関する紹介です。さらに、他のツールと同様に、この関数には重要な制約とトレードオフがあります。The Graphコミュニティの入力を歓迎し、継続的な改善を図ります。

この投稿を通じて、私は次のことを目指しています:

1. この機能について、既存および潜在のインデクサーにバックグラウンド情報を提供します
2. The Graphのトークン経済の部分的な再紹介として機能します
3. ワークトークンの原始としてのコブ・ダグラスを紹介して議論する
4. 読者の皆さんに、将来の改善について議論していただくことをお願いします

コブ・ダグラス関数は、Web3で頻繁に使用される用語ですが、そのユーザーにとってはしばしば不透明です。これは経済学における定番の関数です。0x,グラフそしてゴールドフィンチ, それはトークン経済学において原始的なものとして台頭しています。この機能について少し背景を提供しますが、まずはどのように機能するかの簡略化されたバージョンから始め、その特性に少し深く入ります。重要なのは、同じ目的を果たす可能性がある他の機能形式が存在し、それらも将来的に探求する価値があるという点です。

目次

• Part 1: コブ・ダグラス関数とは何ですか
• Part 2: グラフのコブ・ダグラス関数の採用：トークノミクスの基礎
• Part 3: グラフのコブ・ダグラス関数の採用：設計メカニクス
• 第4部：グラフがコブ・ダグラス関数を採用する：α係数
• Part 5: Cobb-Douglas関数の最適化
• リソース

パート1：コブ・ダグラス関数とは何ですか

重要な説明

基本レベルでは、Cobb-Douglas 関数の目標は、仮想所有者とユーザー マーケットプレイスのインセンティブの整合性を見つけることです。タクシーのメダリオンがトークン化され、ドライバーがトークンを所有し、プラットフォーム上で働く権利が与えられる世界を想像してみてください。使用と所有権を一致させるメカニズムを見つけるにはどうすればよいでしょうか。

Cobb-Douglas 関数は、このようなメカニズムを提供します。要するに、インプット(ステーキングとクエリフィー)とアウトプット(クエリフィーのリベート)の間に数学的な関係を与えるのです。

Cobb-Douglasが実践されている良い例はThe Graph’s work token model.

やや技術的な説明

この機能の初期形態は生産関数（コブ・ダグラス生産関数）でした。コブとダグラスは、資本と労働が最終的に製品（生産）にどのように貢献するかをモデル化しました。それは次のようになります。

Where:

• 出力Pは、労働(L)と資本(C)の関数です。
• bは総要素生産性です。

これは長ったらしいですが、生産要素の労働力と資本がお互いにどのように相互作用するかを説明しています。言い換えれば、労働力と資本が入力の二つの要素である場合、これらの二つの要素が出力にどれだけ貢献するのでしょうか？

Although it is the original form of the function, the function’s unique mathematical properties soon made it a useful tool for a variety of economic analysis situations. It morphed into a generic form:

α1、α2、α3 ...およびαnは正の数ですが、1に合計する必要はありません（使用例による）。元の資本/労働形式と比較して、この一般形式は任意の成分を参照する入力の任意の数を持つことができます。錬金術のように、関数にいくつかの入力（例：銅、鉄、『ギルガメシュ叙事詩』の一部）を投入し、出力を生成することができます（金であればいいのですが！）。

コブ・ダグラス生産関数は魔術のようなものです：入力→出力。生成されるアートは、安定した拡散.

関数が一般形を持つようになったため、生産者理論（生産関数として）および消費者理論（効用関数として）の両方で使用されています。生産関数として使用される場合、それはまるで錬金術の結果を測定しているようです。コブ・ダグラス関数から、合理的な生産者は、例えば、どのくらいの銅を使用すべきかを決定できるでしょう。

When it is used as a utility function, it measures a consumer’s trade-off among various options. Should I buy more CryptoPunks or Bored Apes?

そのため、消費者理論と生産者理論の両方に適合するため、この関数は自然に応用一般均衡分析の中で主要な概念となりました。この分析は供給（生産者理論）と需要（消費者理論）の間で市場の均衡点を見つけることを目指しています。

要するに、さまざまな文脈でコブ・ダグラス関数を見ることになります。それは生産者分析で使用される場合には生産関数になり、消費者分析で使用される場合には効用関数になります。形式（数学的な性質を規定する）は類似していますが、変数の定義はそれぞれの文脈で異なります。

コンシューマユーティリティ。アート生成安定した拡散.

Part 2: グラフのコブ・ダグラス関数の採用：トークノミクスの基礎

The Graph uses a stake-to-earn model. Protocol participants are expected to stake their tokens to secure the network. One specific case of stake-to-earn is a work token model, pioneered by Augurおよびその他。

ワークトークンモデルは次のように機能します:

• ネットワーク内のサービスプロバイダーは、ネットワークのためにサービスを提供する権利を得るためにトークンをステークする必要があります。
• 彼らが行うサービスの量は、ネットワークにステークするトークンの量に比例するべきです。

それは、メダリオンがタクシードライバーに市場で運営する権利を持たせるタクシーメダリオン市場に類似しています。タクシー市場では、ドライバーは都市で運営するためにメダリオンを購入します。これらのメダリオンは譲渡可能であり、ドライバーにメダリオンローンを提供する専門の金融サービスさえあります。これにより、彼らは他のプレイヤーからメダリオンを購入することができます。

地元のタクシー市場が人口増加などの理由で勢いを増すと、二次市場でのメダリオン取引が価値を上昇させます。市場が循環的または構造的な問題（Uberの参入など）を経験すると、メダリオンの価値が下がります。自己調整メカニズムがあります。

グラフは仮想化されたメダリオンシステムと考えることができ、GRTはプラットフォーム上でサービスを提供する権利として機能します。

メダリオンに似て、GRTはプロトコル上で実行された作業量やサービスの調達（クエリ料金）に比例して購入することが意図されています。ドライバーが2人いる場合、1つのメダリオンを取得します（1日に2つのシフトがある場合）。6人のドライバーがいる場合、3つ取得するはずです。

このモデルの主要な課題は、ステークされたトークンと実行された作業の信頼性のある関係を作成することです。理想的には、ネットワークでより多くのクエリが実行されるほど、ステークされたトークンの量が増加すべきです。タクシーの例で言うと、メダリオンに座って仕事に行かない人はいけません！

人々がメダリオンを買うのは、乗客をA地点からB地点に連れて行くことで生計を立てたいからであり、これはメダリオンによって権利が与えられているからです。

ワークトークンモデルはメダリオン市場に従います。アートは生成されました安定な拡散.

グラフはこの数値関係を強制することができましたが、その硬直性がいくつかの問題を引き起こす可能性がありました。

1. ネットワークの成長には好ましくない、より小規模なステーカーが実行できる作業量を制限します
2. 大口ステーカーに作業を実行するように強制するメカニズムを要求する（またはステークを売却する）ことができ、これはチェーン上で調整するのがかなり複雑なことができます（Ramirez 2019）

言い換えれば、The Graphの設計原則は、インデクサーはステークに関係なく、任意の量のクエリを自由に処理できるべきであるということです。再びメダリオンに例えると、たとえメダリオンの大きな所有者であっても、気分が悪いときに強制的に働かされるべきではありません。Cobb-Douglasのアイデアは、人々に強制することなく、経済的により賢明に働くためのインセンティブメカニズムを作成することです。

Part 3: グラフがコブ・ダグラス関数の採用: デザインメカニクス

Edge&Nodeの共同設立者兼CEOであるBrandon Ramirezによると、The Graphはコブ=ダグラスの使用をしています0xの採用に触発されました. (Bandeali et al 2019; Ramirez 2019)

それが解決しようとする問題は、ユーザーが所有者であり、彼らの利用に応じて適切な量のGRTを所有するシステムをどのように設計するかですか？

このプロトコルは、GRTの所有者がトークンをコントラクトに賭け、プロトコルのガバナンスに積極的に参加することを期待しています。ある意味では、仮想市場で協同組合やミューチュアルをデザインするようなものです。Cobb-Douglas は、所有権とユーティリティの二重の使命のバランスをとるメカニズムとして機能します。

バーチャル協同組合モデルの設計。アート生成元安定した拡散.

高いレベルで、メカニズムは次のように見えます: クエリ手数料はまず相互プール（リベートプール）に入ります。期間の終わりに、プロトコルはCobb-Douglasの式を使用して、各インデクサーの相互プールでのシェアを計上します。このシェアは、ステークされたGRTの量と行った作業量（クエリ手数料）の両方に基づいています。

関数は次のように表現されます:

どこ:

• リワードは、単一のインデクサーが徴収できる手数料です。
• totalRewardsは、エポック全体のすべてのインデクサーの合計手数料です（エポックは現在6,646ブロック、またはイーサリアムマージ後の約22時間です。Gateが管理しています。EpochManager contract)，
• feeRatio = ステーキングプールに帰属する手数料 / 報酬を獲得したすべてのプールで集められた手数料の合計,
• stakeRatio = ステーキングプールに帰属するステーク / 報酬を獲得したすべてのプール全体の合計ステーク,
• αはコブ・ダグラス係数です（もともとはコブ・ダグラス論文でkと名付けられました）。

上記の機能と機能の元の形式との類似点を簡単に見ることができます。

ここでは、feeRatioとstakeRatioという2つの変数があります。この関数の目的は、ステークされたGRT（経済的セキュリティを提供するための資本）とクエリ手数料（クエリを提供するための報酬である労働）の分割に対処することです。

Cobb-Douglas のいない世界では、インデクサーがクエリを処理すると、提供したクエリ料金を回収します。これを「殺したものを食べる」モデルと呼ぼう。

"“You Eat What You Kill”. Art Generated by" Gate安定した拡散.

コブ・ダグラスの世界では、インデクサーがクエリを処理した後、クエリ料金は共同プールに入ります。 インデクサーの最終的なプールシェアは、彼らがステークした金額と処理したクエリの量の両方によって決定されます。

明らかな質問は、インデクサーの利益を最大化するステークの最適な量が、手数料に対してどれくらいかということですか？

この問題を説明するためにステーキング強度という指標を使用することができます。

Indexerが提供する手数料に対するGRTのステーク量です。したがって、上記の質問は、Indexersにとって最適なステーキング強度があるのかという問い直すことができます。

現在、この問題については意見の一致が限られています。ある学派は、最適なステーキング強度がないと主張しています。人々はリベートプール全体のサイズを増やす動機がないため、常により多くステーキングすることにインセンティブがあります。

別の学派は、最適なステーキング強度が存在すると主張しています。その理由は、ステーキングのための資本の暗黙のコストがあるためです。GRTの余剰ステーク量は、代替案よりも少ない手数料しか稼げません。

代替手段は何ですか？ 一つの選択肢は、ステーキングが不十分な他のインデクサーに委任することです（ステーキング強度 < 1）。 言い換えると、これらのトークンを自己ステーキングするよりも貸し出すことで資本の限界生産性が高くなります。

別の考え方として、Cobb-Douglas関数によって示される資本の限界生産性の減少です。常に正です（つまり、資本を増やすと常に収益が増えます）、しかし、資本を増やすほど限界利益は減少します。より高い収益のために資本を他の場所で活用する方が良いです。

直感的に最適な選択肢は、クエリに対して同じ量のGRTをステークすることです。言い換えると、feeRatio = stakeRatio（つまり、stakingIntensity = 1）の場合、インデクサーは「自分の獲物を食べる」世界で得られたものとまったく同じものを取り戻します。この状態では無効率はありません。

ステーキングとリワード(たぶん)の間の白黒の決定。アート Generated by ステーブルディフュージョン.

これは、コブ＝ダグラス関数によって意図される問い合わせ手数料市場の理想的な均衡状態です。言い換えると、長期的には、インデクサーは、他の条件がすべて等しいと仮定した場合に、生成する問い合わせ手数料の割合に相当するステークを割り当てるべきです。

経験的に言えば、第一の考え方（つまり最適なステーキング強度がないという考え方）は現時点では正しいと言えます。これについてはPart 5で詳しく議論する理由があるためです。また、関数の実装において遭遇したいくつかの問題についても議論します。

Part 4: グラフのコブ・ダグラス関数の採用：α係数

ステーキング強度に加えて、指数αと(1-α)も重要な変数です。これらは生産関数の要素シェアと呼ばれます：これらはこのクエリ料金生産市場における資本(ステーキングされたGRT)と労働(クエリ料金)のシェアを決定します。

指数は1に合計されることに注意してください：α + (1-α) = 1。これは「一定規模へのリターン」と呼ばれます。これは、feeRatioとstakeRatioの両方を一定の割合で増やすと、相互プール内のIndexerのシェアも同じ割合で増加することを意味します。

言い換えれば、インデクサーが資本（ステーク比率）と労働（手数料比率）の両方の貢献を同時に20%増やす場合、報酬プールのシェアも20%増加します。両方の入力を35%増やすと、アウトプットも35%増加します。

したがって、大規模なインデクサーが大きいだけで過度に報酬を受けることはありません。その逆もしかりです。この機能により、参加者がシステムを操作する可能性が排除されます。

スケールに戻りますか？生成されたアート安定した拡散.

絵を完成させるために、指数の合計が1より大きい場合、規模の拡大の収益が得られます。これは独占的傾向を持つ特定の産業（例：ほとんどの電力市場）に起こります。指数の合計が1より小さい場合、規模の縮小の収益が得られます。信頼できない環境では、これらの設定のどちらも操作される可能性があります。そのため、The Graphは規模に一定のリターンを前提としています（指数の合計=1）。

メカニズムを完全に理解するには、基本的な微積分の背景が必要です。数学をチェックしてみてくださいこの講義ノートセクション「リターン・トゥ・スケール」の下に。(Cottrell 2019)

しかし、αは実際に何を意味するのでしょうか？これは、労働（クエリ料金）が総収益のシェアと見なすことができます。 (1-α)は資本（GRTステーキング）のシェアです。つまり、与えられたエポックでは、労働者は手数料収入のαを受け取る権利があり、資本（GRTステーキング）は（1-α）を受け取る権利があります。

もし市場が均衡状態を維持し、前向きに見据えると、資本（GRTステーキング）によって支払われる手数料収入の流れが生まれます。GRT所有者の価値は、この割引現在価値分析から導かれます。プロトコルクエリ手数料の割引現在価値の合計をXとすると、資本の価値は（1-α）* Xとなります。これは企業金融において見られるものに似ています：企業の価値は将来のキャッシュフローの割引現在価値（DCF）となります。

インデックス作成は作業が必要です。生成されたアート安定した拡散

別の言い方をすれば、クエリ手数料は明示的なプロトコルの「収益」であり、ステーキング/シグナリングは暗黙のプロトコルの「収益」です。繰り返しになりますが、これはGRTがユーティリティトークンであることを考えると、欠陥のある例えです。

DCFの良いところは、伝統的な評価指標を使用して公正な価値分析を行うことができるということです。The Graphが潜在的に提供する市場の規模、The Graphプロトコルの市場構造と市場シェアを仮定し、プロトコルマージン（1-α）を適用し、特定の割引率を使用して端末価値を取得することができます。ただし、この分析は、市場がCobb-Douglasの最適なステーキング強度によって意図された均衡状態にあると仮定しているため、注意が必要です。ネットワークに参加していないトークン保有者が多数存在する現在の市場では機能しません。

さらに一歩進んで、割引現金フロー分析が従来の企業評価の文脈でどのように適用されているかを考えることさえできます。各期のキャッシュフローは、支払いを差し引いた純キャッシュフローが企業によって捉えられるキャッシュフローです。企業に捉えられていないキャッシュフローは、他の生産要素（給与、サプライヤーなど）に流れます。総売上高から企業が保持する割合は企業の利益率です。Cobb-Douglas係数αは、各期のアウトプット（総売上高）に占める資本のシェアを決定するため、所得計算書の視点から見ると、企業の利益率を決定します。

言い換えると、The Graphの設定では、stakeRatio（1-α）の係数は、会計の言葉を借りると、プロトコルの事実上のマージンです。

Das Kapital. Art Generated by ステーブルディフュージョン.

現在、α係数は0.77と評価されており、スマートコントラクトで計算されています。

リアルタイム情報については、alphaNumerator と alphaDenominator を参照してください。EtherscanIndexerの場合、GRTステーキングは、クエリ手数料の23%（= 1-0.77）を獲得することが期待されています。

Indexer Office Hour #73機能について非常に詳細な議論がありました。コミュニティにもDesmosで利用できるグラフ作成ツール.

Part 5: コブ・ダグラス関数の最適化

フレームワークを最適化するには、まだかなりの作業が必要です。たとえば、この関数は、市場参加者が資本を拠出する場合(他の市場参加者と比較して最適な金額を拠出する必要がある)の複雑なゲーム理論分析を意味します。参加者は、ゲームを適切にプレイしなかった場合にペナルティを受けます。しかし、これは理論的なゲームが実践学と出会うところです。ゲームの複雑さは、プレイヤーが意図したとおりにプレイすることを思いとどまらせています。

さらに、プロトコルは現在、インデクサーにインフレ補助金を発行しています。プロトコルの開発段階では、報酬は問い合わせ手数料よりもはるかに大きくなっています。自然と、インデクサーはクエリ手数料の還付プールではなく、インフレ補助金に向けて行動を最適化しています。クエリ手数料市場のこの初期段階でインセンティブを適切に調整すべきですか？

また、Cobb-Douglas関数の中心には回帰分析があります。αの値を決定するために実証データを見る必要があります。この作業は、クエリ手数料市場が十分に大きくなり、より関連性のある時系列データセットを提供すると行われます。

最後に、クエリ手数料市場への投機家の参加。 経済学者のソッキンとションは、投機家の存在が公共料金トークン経済市場の均衡の崩壊に貢献する可能性があると指摘しています（Sockin and Xiong 2020）。 投機家の参加によってユーザーは排除される可能性があります。 投機家の存在を考慮して、どのようにしてより良いマーケットプレイスを設計すべきでしょうか？

スペキュレーターによって乱された一般均衡。生成されたアート。安定した拡散.

オープンでの構築の利点の一部(バザールアプローチ)は、幅広い人々からの意見を得る可能性があることであり、誰もがプロトコルの開発に貢献しています。私は、トークン経済学がバザールの中心にあると主張しますが、それはスタック内の他の要素と同様です。プリミティブの歴史について思索し、その使用例や制限事項を考えることで、私たちは知識プールに貢献し、プロトコルを前進させる可能性があります。誰もがこのプリミティブを挑戦し議論することを歓迎します。

バザールで何かを構築する。生成されたアートステーブルディフュージョン.

アートワーク

以下のオープンソースAIプロジェクトに作品のクレジットが付与されています:

• InvokeAIステーブルディフュージョンツールキット(InvokeAI nd),
• Hugging FaceにホストされているCompVis/stable-diffusion-v1-4のチェックポイント（Rombach et al 2022; ミュンヘン大学ルートヴィヒ・マクシミリアン大学のCompVis）
• runwayml/stable-diffusion-v1-5 チェックポイントはHugging Faceでホストされています (Rombach et al 2022; Runway Research),
• LAION-5BNオープンデータセット, 5BNの画像テキストペアの無料データセット（Beaumont 2022）;LAION美学, LAION-5BNのサブセット（Schuhmann 2022）。

リソース

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