Il y a eu une découverte merveilleuse. Lors de la construction de la formule AMM en 2019, Curve V1 avait une formule intermédiaire dans le processus de déduction, et cette formule avait exactement la même structure que la formule de base d'Uniswap V3 plus d'un an plus tard (le premier est une forme spéciale du dernier). Un chemin de pensée complètement différent, et une intersection mathématique est apparue, ce qui est merveilleux. Cet article va mettre de l'ordre dans le processus de réflexion structurelle de Curve V1 et Uniswap V3 depuis le début. Les deux se sont frottés dans le sens mathématique lors du processus de construction, et comment ils ont pris des chemins différents vers des fins différentes.

1. Le chemin de pensée construit par la formule Curve V1

Le lancement de xy=k d'Uniswap à la fin de 2018 a été une révolution paradigmatique. Cependant, dans le scénario de paire de trading de stablecoin, les failles sont importantes. Michael a saisi ce point d'entrée et a lancé le nouveau AMM Curve V1 à la fin de '19.

Une des bases du processus de construction de la nouvelle formule AMM est encore xy = k. À l'avenir, elle sera uniformément écrite sous la forme de la formule suivante selon les codes de paramètres dans le livre blanc de Curve V1.

La plupart du temps, le prix des paires de trading de stablecoin ne fluctue que dans une très petite fourchette autour de 1:1. La formule qui ne fournit de liquidité qu'à un seul point de prix 1:1 est x+y = D, qui est un autre fondement du processus de construction.

Michael souhaite combiner les deux équations de base, ou introduire des caractéristiques x+y = D basées sur xy = (D/2) ².

En conséquence, les deux formules de base ont été ajoutées ensemble et une formule mixte a été obtenue.

Parmi eux, la partie où x+y=D se voit ajouter un paramètre A, et D est multiplié en plus des deux côtés du signe égal. La raison de multiplier D est de dédimensionnaliser le paramètre A (peu importe s'il y a 2 jetons, 3 jetons ou plus dans le pool, la même valeur A a le même effet). Ceci n'est pas discuté ici, ni n'est le sujet principal de cette discussion.

Concentrez-vous sur le paramètre A. Tout d'abord, le livre blanc de la Courbe V1 utilise la lettre grecque Chi (qui ressemble beaucoup à x) dans la formule de mélange, pas A. J'ai changé pour A pour faciliter l'écriture et la lecture, et cela n'a pas affecté la discussion.

L'effet du paramètre A peut probablement être compris par analogie avec une barre de couleurs noire, grise et blanche. 90 % de gris ressemble beaucoup au noir, tandis que 10 % de gris se rapproche du blanc. Le paramètre A détermine si le produit final de la formule est plus proche de x+y=d, ou xy=(D/2) ².

À partir de la valeur numérique de la limite A, nous pouvons mieux comprendre ce processus de mélange. A = 0, et la formule de mélange devient xy= (D/2) ². A = l'infini, et la formule de mélange devient x+y = d. A est donc un état intermédiaire. Plus A est grand, plus cela ressemble à x+y=D. Cette combinaison peut être ressentie de manière plus intuitive à travers des graphiques, et si vous êtes intéressé, vous pouvez jouer avec A dans desmos².

En ce qui concerne Curve V1, arrêtons-nous ici; veuillez garder cette formule à l'esprit en général. Ensuite, regardons la situation d'Uniswap V3.

2. Le chemin de réflexion construit par la formule Uniswap V3

Après que xy = k de Uni V1/V2 ait dominé la rivière, les insuffisances causées par la "distribution uniforme de liquidité sur une plage de prix complète de 0 à l'infini" sont devenues de plus en plus apparentes, et le lancement de Curve V1 a directement et précisément découpé l'important marché des transactions en stablecoin.

Lors de la conception de la V3, l'équipe Uniswap a d'abord voulu construire une formule qui fournissait uniquement de la liquidité dans une plage de prix continue finie. Le point de départ de leur construction était toujours xy=k.

Imaginez si vous voulez obtenir un effet, dans la plage de prix [Pa, Pb] (par exemple [0.99, 1.01] ou [1500, 1700]), cette formule prend en charge les transactions exactement comme le xy = k de Uni V1/V2, mais lorsque le prix dépasse [Pa, Pb], elle ne fournit plus de liquidité.

La formule correspondante pour cet effet est la suivante :

Si vous utilisez un graphique pour le présenter, il sera très clair, c'est-à-dire déplacer xy=k à une certaine position vers le bas et vers la gauche. Le montant exact à déplacer est déterminé par Pa et Pb.

L'effet obtenu par cette formule est que toute la liquidité est concentrée dans [Pa, Pb], LP dépose une certaine quantité de jetons x et de jetons Y, fournissant une certaine liquidité dans la plage de prix [Pa, Pb]. Pour cet effet de liquidité partielle seul, si le LP de Uni V2 doit être réalisé, le LP doit déposer plus de jetons x et de jetons Y ; l'ampleur dépend de Pa et Pb, et peut nécessiter beaucoup plus.

Cette formule de traduction est la formule de base pour la construction ultérieure de Uni V3. Parlons de Uni V3 pour l'instant.

3. Épaule contre épaule merveilleuse - l'intersection de deux chemins de pensée

Effectuer quelques transformations de la formule de la courbe V1 dans la section 1 :

Si vous regardez la formule de traduction Uni V3 dans la section 2, vous verrez que les deux sont très similaires :

Si Pa et Pb dans la formule de traduction Uni V3 sont plus définis, Pb = 1/Pa, c'est-à-dire, la plage de prix définie est une plage similaire à [0.5, 2] ou [0.01, 100], satisfaisant la symétrie dans le sens des multiples des deux côtés du point de prix 1:1.

Après avoir établi cette limitation, on peut dire que les deux équations sont exactement les mêmes :

Les deux formules ont des expressions de paramètres différentes, et il est facile de déduire la relation entre les deux ensembles de paramètres. Calculons L et Pa en fonction des paramètres A et D de la formule de mélange Curve V1, comme indiqué ci-dessous :

La signification de ces paramètres est liée au chemin de réflexion de chaque construction des deux protocoles. Combinons les relations entre les deux ensembles de paramètres, puis passons brièvement en revue les deux processus de construction.

Pour simplifier, disons qu'un pool de paires de trading de stablecoins, le prix initial est de 1:1. La formule de mélange D dans la Curve V1 représente la quantité de D/2 de chacun des deux stablecoins investis dans le LP initial. A représente le degré selon lequel cette équation de mélange se rapproche de x+y = d.

En venant du côté Uni, créons une autre piscine d'échange de paires de jetons stables Uni V2, qui satisfait la formule suivante :

En d'autres termes, si le prix initial est de 1:1, le LP initial nécessite d'investir autant que D (2A+1) /2 de chacun des deux jetons stables.

À ce stade, il y a un pool Uni V3. L'effet désiré est de fournir uniquement de la liquidité dans les plages de prix suivantes :

De plus, l'effet de liquidité dans cette gamme est similaire à celui du pool Uni V2 qui vient de sortir virtuellement. La formule correspondant au pool Uni V3 qui satisfait cet effet est exactement la même que la formule de mélange Curve V1 décrite ci-dessus.

En résumé, l'effet obtenu par Curve V1 est exactement équivalent à la création initiale d'un pool Uni V2 avec une réserve de jetons beaucoup plus importante (2A fois plus), puis à obtenir exactement le même effet de liquidité que ce pool Uni V2 dans la plage de prix [(2A/ (2A+1))) ², (2A+1) /2A) ²].

4. Se séparer - les différentes fins des deux chemins de pensée

La formule de mélange Curve V1 est une forme spéciale de la formule de traduction Uni V3. En fait, si un paramètre supplémentaire est introduit dans la formule de mélange Curve V1, et que la partie x+y est ajustée à x+py, les deux sont complètement équivalents; il n'y a pas beaucoup d'explication ici.

Curve V1 est basé sur la formule de fusion, et Uni V3 suit leur chemin de pensée original sur la base de la formule de traduction et a suivi des chemins séparés.

4.1 Courbe V1: Mélange de gradient dynamique supplémentaire

Curve V1 a une faille dans la formule de mélange. Il ne fournit de liquidité que dans une plage de prix limitée. Michael avait besoin d'une formule avec de la liquidité dans toutes les gammes de prix. (Pourquoi y a-t-il une telle demande? (Peut-être est-il naturel que toute la plage de prix ait de la liquidité, dans un état plus complet et plus sain, par exemple, dans le sens de fournir un Oracle au monde extérieur.)

Nous pouvons comprendre son idée de construction supplémentaire de la manière suivante : rendre ce degré d'intégration dynamique. A dans la formule de mélange précédente est une constante représentant le degré uniforme de mélange. Maintenant, de plus, lorsque x s'écarte davantage de D/2 (c'est-à-dire lorsque x est plus petit ou plus grand), ou lorsque le prix s'écarte de 1:1 de plus, rendant le degré de mélange plus biaisé vers xy = (D/2) ², x ou lorsque le prix s'écarte de l'état limite, il devient simplement xy = (D/2) ², de sorte que la plage de prix entière soit liquide.

Michael a transformé A en Axy/ (D/2) ²

Cela vous permet d'obtenir l'effet de dégradé dynamique décrit ci-dessus. Bien sûr, la méthode de construction n'est pas limitée à celle-ci. J'ai le sentiment que Michael n'a pas fait une étude comparative très approfondie sur les différences entre les différentes méthodes de mise en œuvre de la gradation dynamique à cette étape du processus de construction. Peut-être qu'il suffit d'atteindre une liquidité totale des prix, c'est tout.

Enfin, nous avons la formule morphologique finale pour Curve V1 comme suit:

4.2 Uni V3: Abandonner la formule unique unifiée et combiner librement les fonctions segmentées

La connotation centrale de la formule de traduction Uni V3 est la plage de prix [Pa, Pb]. Sur la base de cette formule de traduction, Uni V3 est naturellement allé dans une direction ; la liquidité dans différentes plages de prix peut être différente (si la liquidité dans différentes plages de prix est la même, alors retour à Uni V2).

Il existe encore différentes bifurcations de conception dans cette direction générale. Un embranchement dans la route peut être convenu pour déterminer les règles d'allocation de liquidité pour une gamme de prix différente. Les LP sont encore homogènes ; en fait, Curve V1 peut être considéré comme ce type (la limite de la gamme de prix est faible).

Une autre fourche dans la route. Tout le pouvoir de décision est transféré aux LP. Les LP prennent des décisions indépendantes ensemble pour déterminer comment la liquidité finale est distribuée dans différentes gammes de prix.

Uni V3 a choisi la deuxième option. Ce choix est extrêmement critique. Cela enrichit considérablement les éléments de l’ensemble du jeu du marché. Le jugement des prix, le jugement de la volatilité, les éléments de chance, etc. sont tous impliqués, rapprochant le marché de la liquidité d’un marché pleinement concurrentiel.

En examinant la construction ultérieure de Uni V3 d'un point de vue mathématique, à première vue, il semble s'agir d'une fonction segmentée non conventionnelle. Différentes gammes de prix correspondent à différentes valeurs de L, et en conséquence, il existe différentes formules, comme l'exemple minimaliste suivant :

En fait, ce qui précède peut être converti en une fonction segmentée standard, c'est-à-dire que le sous-domaine est défini par x. La sous-fonction est une formule pour y et x. Cet article ne va pas se développer.

5. épilogue

La Curve V1 a été lancée fin 2019. À l'époque, son objectif principal était de mieux soutenir les paires de trading de stablecoins et de combler les lacunes de ce marché. Peut-être est-ce cela qui a déterminé la façon de penser de Michael. L'accent est mis sur une structure symétrique aux points de prix 1:1, et la liquidité est relativement concentrée autour du point de prix 1:1. Lorsque Michael a déduit la formule de mélange en croisant x+y = d et xy = (D/2) ², il me semble que le travail le plus central et le plus novateur a été accompli, car cette formule de mélange satisfait déjà les caractéristiques symétriques et de regroupement décrites ci-dessus. Transformer davantage la formule de mélange en une formule qui soutient la liquidité sur l'ensemble de la plage de prix, pour Michael, est probablement juste un sous-calcul mineur et la finalisation du travail.

Uni V3 a été lancé plus tard, et un livre blanc a été publié en mars 2021. L'équipe Uni a vu Curve V1 fonctionner pendant assez longtemps. Un groupe de personnes extrêmement intelligentes, la façon de riposter naturellement contre Curve nécessite une mise à niveau. L'équipe Uni a directement rompu avec une prémisse majeure. Les LP ne sont plus des «grands repas» et ne peuvent plus suivre uniformément une formule fixe unique pour chaque pool afin de fournir de la liquidité.

Sur la base de Uni V1/V2 xy=k, Uni V3 construit une formule de base (c'est-à-dire la formule de traduction décrite ci-dessus) qui ne fournit de liquidité que dans une fourchette de prix spécifique. Uni V3 voulait briser le postulat du 'grand repas commun' des LP, il a donc donné aux LP la liberté de décider de la fourchette de prix (ou de plusieurs fourchettes) pour fournir de la liquidité. Chaque LP individuel prend des décisions librement, et lorsqu'elles sont additionnées à chaque niveau de pool, elles forment également une formule (fonction segmentée). Cependant, la forme de cette formule change dynamiquement et n'est certainement pas une forme fixe comme le modèle AMM précédent (certains AMM peuvent ajuster la forme via la gouvernance, comme Curve V1 pour ajuster le paramètre A).

Ce design a non seulement résolu le problème de l'efficacité en capital faible de Uni V2 dans le scénario de paire de trading en stablecoin (contre-attaque Curve V1), mais a également introduit une concurrence plus complète dans tous les scénarios de paires de trading, améliorant ainsi le niveau global d'efficacité financière du marché.

Après avoir trié les différences de contexte historique et de point de départ fondamental, jetons un coup d'œil à la similitude entre la formule de mélange Curve V1 et la formule de traduction Uni V3, qui semblait n'être rien de plus qu'une simple coïncidence mathématique digne de mention.

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